Các dạng toán nâng cao lớp 5: cách làm + bài tập có lời giải

Dấu hiệu: biết trung bình cộng của cả nhóm và một vài số, hỏi số còn lại; hoặc «hơn trung bình cộng …».

Cách làm:

1. Tổng cả nhóm = trung bình cộng × số các số.
2. Trừ đi những số đã biết.
3. Thử lại bằng cách tính lại trung bình cộng.

Ví dụ: Trung bình cộng của ba số là 40. Số thứ nhất là 35, số thứ hai là 48. Tìm số thứ ba.

Giải:

• •Tổng ba số là: 40 × 3 = 120
• •Số thứ ba là: 120 − 35 − 48 = 37
• •Thử lại: (35 + 48 + 37) : 3 = 40. Đáp số: 37.

Luyện 10 bài trung bình cộng → · số ở giữa →

Dấu hiệu: dãy có hai số liền nhau hơn kém nhau cùng một khoảng; đề hỏi có bao nhiêu số, số thứ 100 là số nào, hoặc tổng cả dãy.

Cách làm:

1. Tìm khoảng cách giữa hai số liền nhau.
2. Số số hạng = (số cuối − số đầu) : khoảng cách + 1.
3. Tổng = (số đầu + số cuối) × số số hạng : 2.

Ví dụ: Dãy 3, 7, 11, …, 199 có bao nhiêu số? Tính tổng các số đó.

Giải:

• •Số số hạng là: (199 − 3) : 4 + 1 = 50
• •Tổng là: (3 + 199) × 50 : 2 = 5 050. Đáp số: 50 số; tổng 5 050.

Luyện 10 bài dãy số cách đều → · đếm số hạng →

Dấu hiệu: số có chữ số bị che (4a7b), đề bắt chia hết cho 2, 3, 5, 9; hoặc hỏi chữ số tận cùng của một tích dài.

Cách làm:

1. Dùng dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 trước (chỉ nhìn chữ số cuối).
2. Sau đó dùng dấu hiệu 3 hoặc 9 (tổng các chữ số).
3. Liệt kê mọi chữ số thỏa mãn, rồi thử lại.

Ví dụ: Tìm chữ số a, b để số 4a7b chia hết cho cả 2, 5 và 9.

Giải:

• •Chia hết cho 2 và 5 thì chữ số tận cùng là 0, vậy b = 0.
• •Tổng các chữ số 4 + a + 7 + 0 = 11 + a phải chia hết cho 9, vậy a = 7.
• •Số cần tìm là 4 770 (4 770 : 9 = 530). Đáp số: a = 7, b = 0.

Luyện 10 bài tìm chữ số chia hết → · tận cùng của tích →

Dấu hiệu: «bán 1/4 số gạo, rồi bán 2/3 số còn lại, còn 15 kg» — biết phần cuối cùng, hỏi số ban đầu.

Cách làm:

1. Sau mỗi lần, ghi lại phân số còn lại so với số ban đầu.
2. Nhân các phân số còn lại với nhau để ra phần cuối cùng.
3. Lấy số cuối chia cho phân số đó ra số ban đầu, rồi thử lại.

Ví dụ: Một cửa hàng bán 1/4 số gạo, rồi bán 2/3 số gạo còn lại thì còn 15 kg. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

Giải:

• •Sau lần một còn: 1 − 1/4 = 3/4 (số gạo)
• •Sau lần hai còn 1/3 của phần đó: 3/4 × 1/3 = 1/4 (số gạo)
• •Số gạo lúc đầu là: 15 : 1/4 = 60 (kg)
• •Thử lại: bán 15 kg còn 45 kg, bán tiếp 30 kg còn 15 kg. Đáp số: 60 kg.

Luyện 10 bài phần còn lại nhiều chặng → · so sánh bằng phần bù →

Dấu hiệu: tổng dài các phân số có mẫu là tích hai số liền nhau: 1/2, 1/6, 1/12, 1/20…

Cách làm:

1. Viết mỗi mẫu thành tích hai số liền nhau (6 = 2 × 3, 12 = 3 × 4).
2. Tách 1/(n × (n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1).
3. Các số ở giữa triệt tiêu, chỉ còn số đầu trừ số cuối.

Ví dụ: Tính 1/2 + 1/6 + 1/12 + … + 1/90.

Giải:

• •= (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/9 − 1/10)
• •= 1 − 1/10 = 9/10. Đáp số: 9/10.

Luyện 10 bài tách phân số → · tổng dãy phân số →

Dấu hiệu: «tính bằng cách thuận tiện» với số thập phân; có thừa số chung, hoặc chia cho 0,25; 0,5; 0,125.

Cách làm:

1. Tìm thừa số chung hoặc cặp cộng ra số tròn.
2. Chia cho 0,5 là nhân với 2; chia cho 0,25 là nhân với 4.
3. Tính phần tròn trước.

Ví dụ: Tính nhanh 3,7 × 45 + 3,7 × 55 và 12,5 : 0,25.

Giải:

• •3,7 × 45 + 3,7 × 55 = 3,7 × (45 + 55) = 3,7 × 100 = 370
• •12,5 : 0,25 = 12,5 × 4 = 50

Luyện 10 bài rút thừa số chung → · chia cho 0,25 → · tính nhanh thần tốc →

Dấu hiệu: x lặp lại nhiều lần với số thập phân, hoặc đề kể «một số cộng …, rồi nhân …, được …».

Cách làm:

1. Gom các x: x × 2,5 + x × 7,5 = x × 10.
2. Bài kể chuỗi việc: đi ngược từ kết quả, đổi cộng thành trừ, nhân thành chia.
3. Thay x vào đề để thử lại.

Ví dụ: Tìm x, biết x × 2,5 + x × 7,5 = 45.

Giải:

• •x × (2,5 + 7,5) = 45
• •x × 10 = 45
• •x = 45 : 10 = 4,5. Thử lại: 11,25 + 33,75 = 45.

Luyện 10 bài tìm x nhiều bước → · gom x số thập phân → · tính ngược →

Dấu hiệu: biết tổng (hoặc hiệu) của hai số và tỉ số của chúng, ví dụ «số bé bằng 2/5 số lớn».

Cách làm:

1. Vẽ sơ đồ: số bé 2 phần, số lớn 5 phần.
2. Tính tổng số phần (bài tổng – tỉ) hoặc hiệu số phần (bài hiệu – tỉ).
3. Giá trị một phần = tổng (hoặc hiệu) : số phần, rồi nhân ra từng số.

Ví dụ: Hiệu hai số là 36, số bé bằng 2/5 số lớn. Tìm hai số.

Giải:

• •Hiệu số phần bằng nhau là: 5 − 2 = 3 (phần)
• •Số bé là: 36 : 3 × 2 = 24
• •Số lớn là: 24 + 36 = 60. Đáp số: 24 và 60.

Luyện 10 bài tổng – tỉ, hiệu – tỉ → · tổng – tỉ → · tuổi hiệu – tỉ →

Dấu hiệu: điểm M nằm trên một cạnh, chia cạnh theo tỉ lệ; đề hỏi diện tích một tam giác nhỏ.

Cách làm:

1. Tìm hai tam giác có chung chiều cao (cùng đỉnh, đáy nằm trên một đường thẳng).
2. Chung chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy.
3. Nhân diện tích lớn với tỉ số đó.

Ví dụ: Tam giác ABC có diện tích 60 cm². Điểm M trên cạnh BC sao cho BM = 1/3 BC. Tính diện tích tam giác ABM.

Giải:

• •Tam giác ABM và ABC chung chiều cao hạ từ A xuống BC.
• •Đáy BM = 1/3 đáy BC nên diện tích ABM bằng 1/3 diện tích ABC.
• •Diện tích tam giác ABM là: 60 : 3 = 20 (cm²). Đáp số: 20 cm².

Luyện 10 bài tam giác chung chiều cao → · tỉ số diện tích → · hình thang nâng cao →

Dấu hiệu: tăng, giảm giá; lãi, lỗ; «chiếm bao nhiêu phần trăm».

Cách làm:

1. Xác định 100 % là số nào (giá gốc hay giá đã đổi).
2. Tìm a % của một số: số đó : 100 × a.
3. Tăng rồi giảm thì lần sau tính trên giá MỚI, không phải giá gốc.

Ví dụ: Một cái áo giá 200 000 đồng, tăng giá 10 %, sau đó giảm 10 %. Giá cuối là bao nhiêu?

Giải:

• •Giá sau khi tăng là: 200 000 + 200 000 : 100 × 10 = 220 000 (đồng)
• •Số tiền giảm là: 220 000 : 100 × 10 = 22 000 (đồng)
• •Giá cuối là: 220 000 − 22 000 = 198 000 (đồng). Đáp số: 198 000 đồng (không về lại 200 000).

Luyện 10 bài phần trăm tăng giảm → · tìm phần trăm của một số → · lãi – lỗ →

Dấu hiệu: có vận tốc, quãng đường, thời gian; hai xe đi ngược chiều gặp nhau hoặc cùng chiều đuổi kịp.

Cách làm:

1. Ngược chiều: mỗi giờ hai xe gần nhau thêm (v1 + v2).
2. Cùng chiều: mỗi giờ xe sau gần thêm (v1 − v2).
3. Thời gian = khoảng cách lúc đầu : vận tốc gần nhau.

Ví dụ: Hai xe cùng lúc đi ngược chiều từ A và B, cách nhau 180 km. Xe từ A đi 40 km/giờ, xe từ B đi 50 km/giờ. Sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

Giải:

• •Mỗi giờ hai xe gần nhau thêm: 40 + 50 = 90 (km)
• •Thời gian để hai xe gặp nhau là: 180 : 90 = 2 (giờ). Đáp số: 2 giờ.

Luyện 10 bài hai xe gặp nhau → · ngược chiều → · đuổi kịp → · xuôi – ngược dòng →

Đây là những bài con «tưởng biết» nhưng hay sai nhất, vì làm theo cảm giác chứ không theo dạng.

Hai vòi cùng chảy (công việc chung)

Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong 3 giờ, vòi thứ hai trong 6 giờ. Mở cả hai vòi thì bao lâu đầy bể? Con hay lấy trung bình (3 + 6) : 2 = 4,5 giờ — sai.

• •Mỗi giờ vòi một chảy được 1/3 bể, vòi hai chảy được 1/6 bể.
• •Mỗi giờ cả hai vòi chảy được: 1/3 + 1/6 = 1/2 (bể)
• •Thời gian đầy bể là: 1 : 1/2 = 2 (giờ). Đáp số: 2 giờ.

Luyện 10 bài hai vòi cùng chảy →

Đếm chữ số đánh trang sách

Quyển sách 120 trang cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang? Con hay quên trang có 3 chữ số.

• •Trang 1 đến 9: 9 × 1 = 9 (chữ số)
• •Trang 10 đến 99: 90 × 2 = 180 (chữ số)
• •Trang 100 đến 120: 21 × 3 = 63 (chữ số)
• •Tổng: 9 + 180 + 63 = 252 (chữ số). Đáp số: 252 chữ số.

Luyện 10 bài chữ số trang sách →

Xuôi dòng – ngược dòng

Thuyền xuôi dòng 18 km/giờ, ngược dòng 12 km/giờ. Vận tốc dòng nước là (18 − 12) : 2 = 3 (km/giờ), không phải 18 − 12 = 6. Vận tốc thuyền khi nước lặng là 18 − 3 = 15 (km/giờ).

Luyện 10 bài vận tốc xuôi – ngược dòng →

Thêm hai bẫy nữa đã gặp ở trên: tăng 10 % rồi giảm 10 % không về giá cũ (mục 10), và «2/3 số còn lại» không phải 2/3 số ban đầu (mục 4).

Mỗi tuần 2–3 buổi, mỗi buổi 15–20 phút. Đi đúng thứ tự vì dạng sau dùng lại dạng trước (hiệu – tỉ dùng trong bài tuổi, phần trăm dùng phân số).

Tuần 1–5 hợp với học kì 1, tuần 6–8 hợp với học kì 2. Tất cả các dạng xếp sẵn theo thứ tự này trong bản đồ khóa Toán nâng cao lớp 5. Con còn hổng phần lớp 4? Xem lại các dạng toán nâng cao lớp 4.